Matematika na střední - příprava k přijímacím zkouškám

Abychom mohli řešit lineární rovnice, musíme znát postup řešení. Ten je u všech rovnic stejný a následující:

$1.$ Pokud rovnice obsahuje zlomky, zbavíme se jich a to tak, že celou rovnici (to znamená všechny členy) vynásobíme společným jmenovatelem. Dostali jsme rovnici bez zlomků.
$${\frac{10}{3x-1}-\frac{5}{2+x}=0 /(3x-1)\cdot(2+x) \Rightarrow}$$
$${10\cdot(2+x)-5\cdot(3x-1)=0\cdot(3x-1)\cdot(2+x)}$$
$2.$ Rovnici bez zlomků následně upravujeme za použití stejného postupu jako u úpravy výrazů. Nejdříve tedy odstraníme závorky, poté provedeme násobení a dělení a nakonec sčítání a odčítání. Úpravy provádíme na levé i pravé straně rovnice zároveň.
$${10\cdot(2+x)-5\cdot(3x-1)= 0\cdot(3x-1)\cdot(2+x) \Rightarrow}$$
$${20+10x-15x+5=0}$$
$3.$ Nyní jsme dostali na levé i pravé straně neznámé a čísla oddělené pouze znaménky plus nebo mínus. Naším úkolem je přesunout všechny neznámé na levou stranu a všechna čísla na stranu pravou. Provedeme to tak, že pokud přesouváme například neznámou z pravé strany na levou, otočíme její znaménko. Platí pravidlo: „každý člen, který přesouváme přes znaménko = (rovná se) musí změnit znaménko, tzn z plus na mínus nebo z mínus na plus“. Výsledkem je, že na levé straně získáme pouze neznámé a na pravé straně pouze čísla.
$${20+10x-15x+5=0 \Rightarrow 10x-15x=-20-5}$$
$4.$ Neznámé na levé straně sečteme či odečteme a to samé provedeme i s čísly na straně pravé. Získáme jeden člen obsahující neznámou na levé straně a jedno číslo na pravé straně.
$${10x-15x=-20-5 \Rightarrow -5x=-25}$$
$5.$ Pokud se před neznámou na straně levé vyskytuje jiné číslo než $1$, musíme celou rovnici vydělit a to právě číslem, které se před neznámou vyskytuje. Získáme tak výsledek rovnice, tedy číslo, které se rovná
jedné neznámé.
$${-5x=-25 / : (-5) \Rightarrow x=5}$$
$6.$ Musíme však ještě zkontrolovat, zda-li je nutné určit podmínky. Ty určujeme ze zadání a to pouze tehdy, máme-li zadanou rovnici se zlomky a ve jmenovateli těchto zlomků se vyskytuje neznámá. Postupujeme naprosto stejně, jako při určování podmínek výrazů. Pro zopakování se můžete vrátit do kapitoly $2.$ výrazy – podmínky.
$${3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow \Big[x \neq \frac{1}{3}\Big]}$$
a
$${2+x \neq 0 \Rightarrow [x \neq -2]}$$
$7.$ Abychom ověřili správnost výsledku, použijeme zkoušku. Protože počítáme rovnici, musí se levástrana rovnat pravé. Dosadíme tedy výsledné číslo místo každé neznámé a spočteme tak zvlášť hodnotu levé i pravé strany rovnice. Pokud se tyto dvě hodnoty rovnají, náš výsledek i výpočty byly správné.
Levá strana:
$${\frac{10}{3x-1}- \frac{5}{2+x} \Rightarrow \frac{10}{3 \cdot 5 -1}- \frac{5}{2+5} \Rightarrow}$$
$${\frac{10}{14}- \frac{5}{7} \Rightarrow \frac{10}{14} - \frac{10}{14} \Rightarrow 0}$$
Pravá strana: $0$
Levá strana = Pravá strana

Výsledek rovnice je tedy $ x=5 $