Matematika na střední - příprava k přijímacím zkouškám

Doposud jsme se naučili řešit lineární rovnice s jednou neznámou. My jsme však schopni vypočítat i rovnice s více neznámými a to pomocí soustavy rovnic. Obecně platí, že počet neznámých v rovnici se rovná počtu rovnic v soustavě. Chceme – li tedy řešit rovnici o dvou neznámých, využijeme soustavu, která bude obsahovat dvě rovnice o dvou neznámých. Tyto soustavy umíme řešit pomocí dvou metod: dosazovací a sčítací. Řešení soustav rovnic pomocí dosazovací metody je následující:

$1.$ Z první rovnice si vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé. Snažíme se přitom, aby před neznámou, kterou vyjadřujeme, stálo číslo $1$, pokud by zde bylo jiné číslo, postupujeme jako při úpravě rovnic – celou rovnici dělíme číslem před vyjádřenou neznámou.
$${3x+6y= 15 \atop 5x-3y=-1} {3x=15-6y / :3 \Rightarrow x=5-2y}$$
$2.$ Nyní místo každého $x$, které se vyskytuje v druhé rovnici, dosadíme vyjádřenou hodnotu, tedy $5-2y$ . Druhá rovnice pak bude vypadat takto: ${5 \cdot (5-2y)-3y = -1}$

$3.$ Získali jsme tedy lineární rovnici o jedné neznámé, kterou již umíme řešit pomocí našeho obecného postupu. Roznásobíme tedy závorku, převedeme neznámé na levou stranu a čísla na pravou stranu, spočítáme a získáme hodnotu jednoho $y$ :
$${5\cdot(5-2y)-3y=-1 \Rightarrow 25-10y-3y=-1 \Rightarrow -10y-3y=-1-25 \Rightarrow}$$
$${-13y=-26 / : (-13) \Rightarrow y=2}$$
$4.$ Nyní známe hodnotu, která se rovná neznámé $y$ . Hodnotu neznámé $x$ získáme tak, že dosadíme hodnotu neznámé $y$ do rovnice, kterou jsme si vyjádřili v kroku $1$. Místo $y$ tedy dosadíme číslo $2$:
$${x=5-2y \Rightarrow x=5-2 \cdot 2 \Rightarrow }$$
$${x=5-4 \Rightarrow x=1}$$
$5.$ Výsledkem naší soustavy rovnic by tedy mělo být $x=1$ a zároveň $y=2$. Opět si správnost výsledku můžeme ověřit pomocí zkoušky, tu však musíme provést pro obě rovnice:
Levá strana první rovnice:
$${3x+6y \Rightarrow 3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 \Rightarrow 3+12 \Rightarrow 15}$$
Pravá strana první rovnice: 15
Levá = Pravá

Levá strana druhé rovnice:
$${5x-3y \Rightarrow 5 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \Rightarrow 5-6 \Rightarrow -1}$$
Pravá strana druhé rovnice: $-1$
Levá = Pravá

Zjistili jsme tedy, že hodnoty $x=1$ a $y=2 $jsou řešením naší soustavy lineárních rovnic.

$6.$ Pokud by se v zadání soustavy vyskytovaly zlomky s neznámou ve jmenovateli, bylo by nutné určit podmínky. Vzhledem k tomu, že v našem příkladu zlomky s neznámou ve jmenovateli nebyly, podmínku není třeba určovat.