Matematika na střední - příprava k přijímacím zkouškám

Naučili jsme se již řešit soustavy lineárních rovnic pomocí metody dosazovací. Někdy je však obtížné získat pěkné vyjádření jedné neznámé. V tomto případě použijeme metodu sčítací. Platí však, že každá soustava lze řešit oběma způsoby, proto záleží na každém z nás, který si zvolíme. My si ukážeme sčítací metodu na stejné soustavě, kterou jsme již vyřešili metodou dosazovací. Postup je následující:

$1.$ Nejdříve potřebujeme získat stejnou nebo opačnou (například čísla $1$ a $-1$) hodnotu neznámé v první i druhé rovnici. Když se na soustavu lépe podíváme, zjistíme, že je rychlejší získat stejnou (opačnou) hodnotu neznámé $y$ a to tak, že druhou rovnici vynásobíme číslem $2$. Budeme muset tedy provést jednu úpravu. Kdybychom chtěli získat stejnou hodnotu neznámé $x$, museli bychom první rovnici násobit číslem $5$ a druhou rovnici násobit číslem $3$ a to nám zabere více času – budeme muset provést dvě úpravy. Upravme tedy soustavu na stejnou (opačnou) hodnotu neznámé $y$:
$${3x+6y=15 \atop 5x-3y=-1 / \cdot 2} \Rightarrow {3x+6y=15 \atop 10x-6y=-2}$$
$2.$ Nyní můžeme neznámou $y$odstranit. Zbavíme se jí tak, že budeme vždy sčítat hodnoty, které jsou pod sebou. Pokud bychom měli hodnoty se stejným znaménkem, budeme používat metodu odčítací, pokud mají hodnoty opačná znaménka – jako v našem případě, použijeme metodu sčítací. Jednoduše vždy provedeme takovou operaci, aby nám u jedné neznámé vyšla nula. POZOR!!! Někdy jsou rovnice schválně zadány tak, že nemají neznámé seřazeny stejně, proto je třeba, aby pod sebou figurovaly vždy stejné neznámé, tzn $x$ pod $x$, $y$ pod $y$ a čísla pod čísly. Po odstranění získáme jednu rovnici o jedné neznámé:
$${3x+6y=15 \atop 10x-6y=-2}$$
sčítáme pod sebou
$${13x+0y=13 \Rightarrow 13x=13}$$
$3.$ Odstranili jsme tedy neznámou $y$ a získali tak lineární rovnici o jedné neznámé $x$. Tuto rovnici vyřešíme a získáme hodnotu, které se rovná neznámé $x$:
$${13x=13 / :13 \Rightarrow x=1}$$
$4.$ Nyní dopočítáme hodnotu neznámé $y$ tak, že dosadíme hodnotu neznámé $x$ do první rovnice:
$${3x+6y=15 \Rightarrow 3 \cdot 1 + 6y=15 \Rightarrow 3+6y=15 \Rightarrow}$$
$${6y=15-3 \Rightarrow 6y=12 / :6 \Rightarrow y=2}$$
$5.$ Získali jsme tedy výsledky naší soustavy rovnic. Nyní je třeba ověřit, zda-li jsme počítali správně. Opět tedy použijeme zkoušku pro obě rovnice:

Levá strana první rovnice:
$${3x+6y \Rightarrow 3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 \Rightarrow 3+12 \Rightarrow 15}$$
Pravá strana první rovnice: $15$
Levá = Pravá

Levá strana druhé rovnice:
$${5x-3y \Rightarrow 5 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \Rightarrow 5-6 \Rightarrow -1}$$
Pravá strana druhé rovnice: $-1$
Levá = Pravá

Zjistili jsme tedy, že hodnoty $x=1$ a $y=2$ jsou řešením naší soustavy lineárních rovnic.

$6.$ Podmínky opět není nutné určovat, neboť se v zadání nevyskytují zlomky s neznámou ve jmenovateli.