Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Rovnice soustavy postupně eliminujeme až zůstane jedna rovnice s jednou neznámou, kterou vyřešíme tradičním způsobem. Rovnice můžeme buď vhodně sčítat, aby některá neznámá vypadla, nebo některou neznámou vyjádříme a dosadíme do ostatních rovnic. Zejména pro víc než jednu rovnici je výhodnější druhá metoda.

Př. Řešte soustavu
$$\begin{eqnarray*}
x-2y+z &=& 1 \\
-x+3y+2z &=& 0 \\
2x-y+5z &=& 5.
\end{eqnarray*}$$
Můžeme například z první rovnice vyjádřit $x=2y-z+1$ a dosadíme za $x$ do zbývajících rovnic. Dostaneme novou soustavu
$$\begin{eqnarray*}
-(2y-z+1)+3y+2z &=& 0\\
2(2y-z+1)-y+5z &=& 5.
\end{eqnarray*}$$
Po úpravě
$$\begin{eqnarray*}
y+3z &=& 1\\
3y+3z &=& 3.
\end{eqnarray*}$$
Nyní můžeme vyjádřit $y=1-3z$ z první rovnice a dosadit do druhé
$$3(1-3z)+3z=3.$$
To je obyčejná rovnice, kterou upravíme a máme řešení $z=0$. Dopočítáme ostatní neznámé $y=1$ a $x=3$. Máme jediné řešení, kterým je trojice čísel $(3,1,0)$.

Př. Řešte soustavu
$$\begin{eqnarray*}
x+y+z &=& 2 \\
x-3y+2z &=& 1 \\
2x-2y+3z &=& 7.
\end{eqnarray*}$$
Můžeme například z první rovnice vyjádřit $y=2-x-z$ a dosadíme za $y$ do zbývajících rovnic. Dostaneme novou soustavu
$$\begin{eqnarray*}
x-3(2-x-z)+2z &=& 1\\
2x-2(2-x-z)+3z &=& 7.
\end{eqnarray*}$$
Po úpravě
$$\begin{eqnarray*}
4x+5z &=& 7\\
4x+5z &=& 11.
\end{eqnarray*}$$
Nyní můžeme vyjádřit $x=\frac{7-5z}{4}$ z první rovnice a dosadit do druhé
$$4\frac{7-5z}{4}+5z=11.$$
Tato rovnice se upraví na rovnici $7=11$, což je nepravdivá rovnost a tudíž rovnice nemá řešení. Proto ani celá soustava nemá řešení. (Což šlo vidět už z poslední získané soustavy.) Pokud by nám vyšla pravdivá rovnost (např. $7=7$), pak by soustava měla řešení nekonečně mnoho.