Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Jedná se o nerovnice, které lze upravit na tvar
$$(\mbox{výraz s x})\cdot(\mbox{výraz s x})\cdot \dots \cdot(\mbox{výraz s x}){\geq \atop <}0.$$
Dbáme na to, aby na jedné straně nerovnice byla vždy nula. A aby výrazy v závorkách byly rozložené na nejjednodušší tvar. (Např. abychom neměli závorku obsahující $x^2-1$ ale $(x-1)(x+1)$.) Máme-li nerovnici takto upravenou, najdeme všechna čísla, ve kterých se jednotlivé členy součinu nulují. Pomocí těchto čísel uděláme tabulku znamének, ze které určíme řešení.

Př. Řešte nerovnici $$(x-1)(x+3)(2x+1)>0.$$
Členy součinu se nulují v číslech $-3,-\frac{1}{2},1$. Nyní můžeme udělat tabulku znamének. Horní řádek tabulky je číselná osa, kam umístíme nulové body v pořadí podle velikosti. Do prvního sloupce tabulky umístíme pod sebe členy součinu. Pro každý řádek zaznačíme nulou nebo kolečkem, kde se daný výraz nuluje. Tam se bude měnit znaménko.


Při vyplňování znamének si můžeme pomoci dosazením čísla z daného intervalu. Nakonec v každém sloupci určíme celkové znaménko (pod čarou). Jako řešení vybereme intervaly, jejichž znaménka odpovídají požadované nerovnosti. V našem případě je tedy řešení $x\in(-3,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$.


Př. Řešte nerovnici $x^2-2x\leq0$.
Nejdříve musíme nerovnici upravit do součinového tvaru. Vidíme, že lze vytknout $x$ a dostaneme tak nerovnici $$x(x-2)\leq0.$$
Nulové body jsou $0$ a $2$. Můžeme opět vytvořit tabulku znamének:


Vidíme, že interval splňující požadovanou nerovnost je $x\in\langle0,2\rangle$.


Př. Řešte nerovnici $(x-1)^2>4$.
Na pravé straně nerovnice není nula, je tedy třeba nerovnici nejdříve upravit. Levou stranu umocníme a převedeme vše na jednu stranu $$x^2-2x-3>0.$$
Nyní musíme levou stranu ještě rozložit na součin.
$$(x+1)(x-3)>0.$$
Nulové body jsou $-1$ a $3$. Můžeme opět vytvořit tabulku znamének:


Vidíme, že interval splňující požadovanou nerovnost je
$x\in(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$.