Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Při řešení těchto rovnic je potřeba nejdříve odstranit absolutní hodnotu, nebo hodnoty. Tím získáme normální rovnici nebo nerovnici, kterou vyřešíme. Při řešení příkladů s absolutní hodnotou je třeba mít na paměti, že se vždy pohybujeme pouze na nějakém intervalu. Řešení je proto třeba vybírat s ohledem na tento interval.


Jednu absolutní hodnotu odstraňujeme podle definice.
$$|a|=\left\{ \begin{array}{rcr}
a & \mbox{je-li} & a\geq 0\\
-a & \mbox{je-li} & a<0
\end{array}\right.$$
Reálnou osu si rozdělíme na dva intervaly, podle toho, kde je vnitřek absolutní hodnoty kladný a kde záporný. Podle toho abs. hodnotu odstraníme. Zbytek rovnice neměníme. Můžeme si také udělat tabulku znamének.


Př. Řešte rovnici $|x-2|+7=2x$.
Pro odstranění abs. hodnoty si pomůžeme tabulkou.


Odstranění abs. hodnoty provedeme zvlášť ve dvou intervalech I. a II. Místo abs. hodnoty je dobré napsat závorky, před které dáme znaménko podle tabulky.
$$\mbox{I.}\quad -(x-2)+7=2x$$
$$x=3$$
Aby výsledek byl skutečně řešením rovnice, musí ležet v intervalu I (tedy intervalu $(-\infty,2\rangle$). Číslo $3$ neleží v intervalu I a proto nebude řešením původní rovnice.
$$\mbox{II.}\quad +(x-2)+7=2x$$
$$x=5$$
Číslo $5$ leží v intervalu II $\langle2,+\infty)$ a proto je řešením i původní rovnice. Celkem máme tedy jediné řešení $x=5$.


Př. Řešte nerovnici $\sqrt{(x-1)^2}>2$.
Pozor, při správném odmocnění výrazu na levé straně nám zůstane výraz v absolutní hodnotě. Tedy nerovnice se upraví na
$$|x-1|>2.$$
Můžeme si opět udělat pomocnou tabulku.


Nerovnici opět řešíme zvlášť na obou intervalech. Znaménko dáváme podle tabulky.
$$\mbox{I.}\quad -(x-1)>2$$
$$x<-1.$$
Nezapomeneme na otočení znaménka nerovnosti při dělení záporným číslem. Řešení nerovnice nyní musí splňovat podmínku $x<-1$ a zároveň musí ležet v intervalu I.
Můžeme si pomoci číselnou osou, abychom vybrali správný interval.


Výsledný interval z první části je tedy $(-\infty,-1)$. (Vybíráme čísla, která mají dvě stříšky.)
$$\mbox{II.}\quad +(x-1)>2$$
$$x>3.$$
Řešení nyní musí ležet v intervalu II a zároveň splňovat uvedenou nerovnost.
Můžeme si zase pomoci číselnou osou.


Výsledný interval je $(3,+\infty)$. Celé řešení je sjednocením intervalů z jednotlivých částí tedy $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

Poznámka: Intervaly I a II můžeme vždy brát uzavřené všude, kde to jde.


V případě, že je v rovnici či nerovnici více než jedna absolutní hodnota, postupujeme podobně. Reálná osa se nám ovšem rozpadne na více různých intervalů ve kterých budeme abs. hodnoty odstraňovat. Můžeme si opět pomoci tabulkou znamének, která nám navíc ukazuje, s jakým znaménkem abs. hodnotu odstranit.


Př. Řešte rovnici $|x-2|+|2x-8|=5$.
Nejdříve si najdeme nulové body vnitřků absolutních hodnot a uděláme tabulku znamének.


Nyní budeme řešit rovnici na celkem třech intervalech.
$$\mbox{I.}\quad -(x-2)-(2x-8)=5$$
$$x=\frac{5}{3}$$
Číslo $\frac{5}{3}$ leľí v intervalu I $(-\infty,2\rangle$ a tedy bude řešením celé rovnice.
$$\mbox{II.}\quad +(x-2)-(2x-8)=5$$
$$x=1$$
Číslo $1$ neleží v intervalu II $\langle2,4\rangle$ a tedy nebude řešením celé rovnice.
$$\mbox{III.}\quad +(x-2)+(2x-8)=5$$
$$x=5$$
Číslo $5$ leží v intervalu III $\langle4,+\infty)$ a tedy bude řešením celé rovnice. Celkem máme dvě řešení $x\in\{\frac{5}{3},5\}$.

Př. Řešte nerovnici $|x|+|5-x|<13-|2x+4|$.
Najdeme si nulové body vnitřků absolutních hodnot a uděláme tabulku znamének.


Nyní budeme řešit nerovnici na celkem čtyřech intervalech.
$$\mbox{I.}\quad -(x)+(5-x)<13+(2x+4)$$
$$x>-3$$
Vybereme čísla, která leží v intervalu I a zároveň splňují uvedenou nerovnost.
Opět si pomůžeme obrázkem.


Výsledný interval je $(-3,-2\rangle$.
$$\mbox{II.}\quad -(x)+(5-x)<13-(2x+4)$$
$$5<11$$
Vyšla pravdivá nerovnost, řešením jsou tedy všechna čísla, která leží v intervalu II, tedy $\langle-2,0\rangle$.
$$\mbox{III.}\quad +(x)+(5-x)<13-(2x+4)$$
$$x<2$$
Vybereme čísla, která leží v intervalu III a zároveň splňují uvedenou nerovnost.
Opět si pomůžeme obrázkem.


Výsledný interval je $\langle0,2)$.
$$\mbox{IV.}\quad +(x)-(5-x)<13-(2x+4)$$
$$x<\frac{7}{2}$$
Vybereme čísla, která leží v intervalu IV a zároveň splňují uvedenou nerovnost.
Opět si pomůžeme obrázkem.


Celé řešení je sjednocením intervalů z jednotlivých částí tedy
$x\in(-3,2)$.