Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Kvadratická rovnice je rovnice tvaru $ax^2+bx+c=0$, kde $a,b,c\in\mathbb{R}$ a $a\neq0$. Rovnici řešíme pomocí diskriminantu, který zároveň určuje počet řešení.
$$\Delta=b^2-4ac.$$
1. Je-li $\Delta<0$ pak má rovnice řešení pouze v komplexních číslech a to ve tvaru
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}i}{2a}.$$
2. Je-li $\Delta=0$ pak má rovnice právě jedno reálné řešení $$x=\frac{-b}{2a}.$$
3. Je-li $\Delta>0$ pak má rovnice dvě reálná různá řešení
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

Kořeny rovnice zároveň určují rozklad na součin
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$
kde $x_{1,2}$ jsou kořeny (reálné nebo komplexní). Tento tvar rozkladu používáme pro řešení kvadratické nerovnice, kterou pak řešíme tabulkou znamének (viz výše).


Př. Řešte rovnici $2x^2-5x-3=0$.
Nejdříve spočítáme diskriminant
$$\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49.$$
Diskriminant je kladný a rovnice bude mít dvě různá reálná řešení.
$$x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2\cdot2}=-\frac{1}{2} \quad \mbox{a} \quad x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2\cdot2}=3.$$
Levou stranu rovnice lze tedy rozložit na $2x^2-5x-3=2(x-3)(x+\frac{1}{2})$.


Př. Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty jejíž jeden kořen je $4+i$.
Aby kv. rovnice měla reálné koeficienty a zároveň komplexní kořen musí se jednat o případ, kdy $\Delta<0$. Řešením jsou jsou potom dvě navzájem sdružená komplexní čísla. (Tedy liší se jen ve znaménku u $i$.) Má-li být $4+i$ jeden kořen, pak tedy druhý musí být $4-i$. Levou stranu rovnice lze pak zapsat ve tvaru $$\left(x-\left(4+i\right)\right)\left(x-\left(4-i\right)\right).$$
Po roznásobení by nám měly vypadnout všechny členy s $i$. Skutečně
$$\left(x-\left(4+i\right)\right)\left(x-\left(4-i\right)\right)=x^2-8x+17.$$
Hledanou rovnicí tedy může být např. rovnice
$$x^2-8x+17=0.$$
Tuto rovnici lze samozřejmě vynásobit libovolným nenulovým číslem a stále bude splňovat zadání.