Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Iracionální rovnice jsou takové, kde se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Řešíme je tak, že celou rovnici umocníme na druhou. Pokud je to možné, převedeme odmocninu s neznámou předtím samostatně na jednu stranu rovnice, aby nám po umocnění už vyšla rovnice normální. Pokud po umocnění stále zůstává nějaká odmocnina s neznámou, postup opakujeme. Je třeba mít na paměti, že po umocnění nám mohou vycházet i řešení, která nejsou řešením původní rovnice s odmocninou.
Proto je třeba dělat zkoušku pro všechna řešení, která získáme. Zejména pokud se nás ptají na počet řešení.


Př. Řešte rovnici $\sqrt{2x+5}=x-5$
Celou rovnici umocníme na druhou. Při umocnění nezapomínáme
na správné umocnění dvojčlenů podle vzorce $(a\pm b)^2$.
$$2x+5=x^2-10x+25.$$
Získali jsme rovnici, která se upraví na kvadratickou
$$x^2-12x+20=0,$$
která má podle předchozího dvě řešení $x_{1,2}=2;10$. Provedeme zkoušku.
$$\begin{array}{ll}
x = 2&\\
\mbox{L:} &\sqrt{2\cdot 2+5}=3\\
\mbox{P:} &2-5=-3\end{array}$$
Levá a pravá strana si neodpovídají, tudíž $2$ není řešení.
$$\begin{array}{ll}
x=10&\\
\mbox{L:} &\sqrt{2\cdot 10+5}=5\\
\mbox{P:} &10-5=5 \end{array}$$
Levá a pravá strana si odpovídají, tudíž $10$ je řešení.
Rovnice má tedy jediné řešení $x=10$.


Př. Řešte rovnici $\sqrt{x+9}+3\sqrt{x}=7$.
Odmocninu nelze osamostatnit na jedné straně rovnice, proto nám po umocnění
$$x+9+6\sqrt{x}\sqrt{x+9}+9x=49$$
zbyde stále výraz s odmocninou. Odmocninu nyní osamostatníme
$$3\sqrt{x}\sqrt{x+9}=20-5x$$
a znovu umocníme
$$9z(z+9)=400-200x+25x^2.$$
Dostáváme kvadratickou rovnici
$$16x^2-281x+400=0,$$
která má řešení $x_1=16$ a $x_2=\frac{25}{16}$. Zkouškou ověříme, že
řešením je pouze $x=\frac{25}{16}$.