Matematika na ekonomky - příprava na přijímací zkoušky

Rovnice s parametrem, jsou rovnice ve kterých kromě klasické neznámé $x$ vystupuje ještě parametr, který obvykle značíme písmenem $p$ nebo $m$. Při řešení postupujeme jako u klasické rovnice, přičemž k parametru přistupujeme stejně, jako by to bylo obyčejné číslo. Řešení je pak obvykle závislé na parametru, který ovlivňuje i jeho počet.


Př. Kvadratická rovnice $x^2+9x+m^2-2=0$ má jeden kořen nula pro dva parametry, určete jejich hodnotu.
Kv. rovnice má nulové řešení pokud poslední člen $c$ je roven nule. (Lze vytknout $x$.) V uvedené rovnici $c$ odpovídá členu $m^2-2$. Ten je roven nule je-li $m=\pm\sqrt{2}$, což jsou hledané hodnoty parametru.


Př. Určete parametr $p$, aby rovnice $(p+5)x^2+4x-p=0$ měla dva reálné různé kořeny.
Počet řešení určuje diskriminant, pro který platí
$$\Delta=4^2-4\cdot(p+5)\cdot(-p)=16+4p^2+20p.$$
Aby měla rovnice dvě reálná různá řešení musí být $\Delta>0$ tedy
$$4p^2+20p+16>0.$$
Nerovnici rozložíme na součin
$$4(p+4)(p+1)>0$$
a výše uvedenými metodami najdeme řešení $p\in(-\infty,-4)\cup(-1,+\infty)$.


Př. Pro jaké $m$ má soustava
$$\begin{eqnarray*}
x+y &=& 2\\
2x-3y &=& m
\end{eqnarray*}$$
řešení v I. kvadrantu?
Soustavu řešíme tradičním způsobem, bez ohledu na parametr.
Vyjádříme $x=2-y$ z první rovnice a dosadíme do druhé. Dostaneme rovnici
$$2(2-y)-3y=m.$$
Po úpravě dostáváme řešení $y=\frac{4-m}{5}$ a odtud $x=\frac{6+m}{5}$. Aby bod ležel v prvním kvadrantu, musí mít obě souřadníce nezáporné. Tedy
$$\begin{array}{lcl}
x\geq0 & \rightarrow & \frac{6+m}{5}\geq0\\
y\geq0 & \rightarrow & \frac{4-m}{5}\geq0.\end{array}$$
Přičemž obě nerovnice musí být splněny zároveň, proto $m$ musí být z intervalu $m\in\langle-6,4\rangle$.