Obecné studijní předpoklady OSP - příprava

V těchto úlohách je třeba pracovat s vymyšlenými operacemi, může se jednat o klasické sčítání či dělení, ale často se setkáme s velmi neobvyklými operacemi, které jsou označovány nejrůznějšími symboly. Můžeme si například vymyslet následující operace

a # b = 2a – b / 2 nebo x ~ y = x² + y / x

Zkusme si vypočítat výsledky operací pro různé hodnoty

1 # 2 = 2 – 1 = 1

2 # 1 = 4 – 0,5 = 3,5

Vidíme, že pro operaci # neplatí komutativní zákon ( a # b ≠ b # a ). Prohazovat operandy není možné u většiny vymyšlených operací, na to nesmíme při práci s novými operacemi zapomínat.

2 ~ 2 = 4 + 1 = 5

-3 ~ 0 = 9 + 0 = 9

0 ~ 1 není definováno (nelze dělit nulou)

Setkáme se s třemi druhy úloh

I.

Nejjednodušší bývají úlohy, kde máme zadaný předpis nějaké nové operace, se kterou máme dále pracovat. Ukážeme si jednoduchý příklad.

Operace & má následující předpis a & b = a^a, vyřešte rovnici x & y = 4.

Místo operace stačí dosadit její předpis, dostaneme rovnici

x^x = 4, řešení této rovnice již snadno určíme, když si zkusíme dosadit několik hodnot. Rovnice má řešení x = 2. Vidíme, že výsledek operace nezávisí na druhém operandu, takže y může být libovolné.

Úlohy tohoto typu lze ale téměř vždy řešit dosazováním nabízených možností. Výjimkou mohou být úlohy, kde se nás neptají na konkrétní výsledek. Ukážeme si příklad takové úlohy.

Operace @ je definována takto a @ b = 1/a – 2/(ab), jaký je inverzní prvek k prvku 1/a @ 1/b?

(A) a @ b

(B) -1/a @ -1/b

(C) 1/(a - 2ab)

Nejdříve si vyjádříme zadaný prvek 1/a @ 1/b = 1/(1/a) – 2/(1/(ab)) = a – 2ab. Prvek inverzní je takový, který po vynásobení s původním prvkem dá výsledek 1. Například 0,5 je inverzní ke 2 a naopak. Hledaná možnost je tedy (C). Mimo pojmu inverzní prvek se ještě můžeme setkat s pojmem opačný prvek, ten po sečtení s původním prvkem dá výsledek 0 (5 je opačným prvkem k -5 a naopak).

II

Druhým typem úloh jsou takové úlohy, kde máme zadánu rovnici, ve které chybí nějaký výraz nebo operace a naším úkolem je najít vhodnou operaci nebo výraz, který lze do rovnice doplnit tak aby byla splněna rovnost. Opět si ukážeme jednoduchý příklad.

Je dána rovnice

(x – 1)$ = 2x² – x – 1

Který výraz nahrazuje # tak, aby byla splněna rovnost?

(A) x + x²

(B) (2x + 1)

(C) x + 1

(D) (x + 1)

(E) 2(x + 1)

Tuto úlohy budeme řešit dosazováním, v podstatě jde o vylučovací metodu. Pokud budeme postupně místo podtržítek dosazovat nabízené výrazy, zjistíme, že jedině možnost (B) je správně. Ve skutečnosti ani nemusíme dosazovat všechny možnosti, jakmile zjistíme, že (B) je správě.

III

Posledním, nejtěžším typem úloh jsou úlohy, ve kterých máme o operaci zadány nějaké informace a naším úkolem je zjistit o jakou operaci jde. Většinou se také dají řešit dosazováním, ale může to zabrat více času, neboť o operaci máme většinou více nezávislých informací, které musíme všechny ověřit. Ukážeme si dva příklady.

Myslíme si tajnou operaci, pokud do ní dosadíme dvojku a dvojku, výsledkem bude čtyřka. Pokud do ní dosadíme dvojnásobek libovolného čísla a dvojku, pak výsledkem bude dvojnásobek čísla zvýšeného o jedna. Jakou operaci si myslíme?

(A) násobení

(B) dělení

(C) sčítání

(D) odčítání

(E) umocňování

Zde se nejprve musíme vypořádat se slovním zadáním, operaci si označíme třeba otazníkem a zadaní přepíšeme takto:

2 ? 2 = 4

(2x) ? 2 = 2(x + 1)

Nejtěžší část úlohy jsme zvládli, nyní už jen stačí dosadit nabízené operace. První podmínka je zřejmě jednodušší, proto bude lepší dosadit nejdříve všechny možnosti do první podmínky a vyřadit ty, které ji nesplňují. Zbudou nám možnosti (A), (C), (E). Nyní dosadíme tyto možnosti i do druhé podmínky, vidíme, že jedinou správnou možností je (C). Je dobré si uvědomit, že bez nabízených možností nemá úloha jednoznačnou odpověď, existuje spoustu dalších podivných operací, které by tyto podmínky splňovali, místo otazníku bychom mohli například dosadit + 4 -. Podívejme se na složitější příklad.

Tonda položí Martině následující matematickou hádanku: Myslím si tajnou operaci, pokud vynásobím trojku a dvojku a na výsledek použiji tajnou operaci, vyjde mi šest. Pokud ale od čtyřky odečtu šestku a na výsledek použiji tajnou operaci, dostanu dvě třetiny. Kterou z operací si Tonda může myslet?

(A) dělení šesti

(B) absolutní hodnota čísla vynásobená jednou šestinou

(C) druhá mocnina čísla zmenšená o šest a vynásobena jednou pětinou

(D) jedna šestina druhé mocniny čísla

(E) dvě třetiny z absolutní hodnoty čísla

Opět nejdříve potřebujeme přepsat podmínky do matematických výrazů. Všimneme si, že do operace dosazujeme jen jedno číslo, můžeme si ji tedy označit jako funkci, například f.

f(3 x 2) = f(6) = 6

f(4 - 6) = f(-2) = 2/3

Pak potřebujeme přepsat i nabízené možnosti, při samotné zkoušce bychom měli být schopni dosazovat nabízené možnosti zpaměti, nyní si je ale v rámci cvičení přepíšeme.

(A) f(x) = x / 6 (B) f(x) = |x| / 6 (C) f(x) = (x2 - 6) / 5

(D) f(x) = x² / 6 (E) f(x) = 2|x| / 3

Nyní už jen stačí možnosti dosadit do podmínek. Zjistíme, že jediným možným řešením je D.